4. Исследуйте функцию и постройте её график: y = x³ − 3x² + 4

Область определения: все действительные числа. Разложим на множители: \(y=x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1)\). Нули функции: \(x=-1\) и \(x=2\); пересечение с осью \(Oy\): \((0;4)\).

Производная: \(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\). Следовательно, функция возрастает на \((-infty;0)\) и \((2;+infty)\), убывает на \((0;2)\). Точка локального максимума — \((0;4)\), точка локального минимума — \((2;0)\).

Вторая производная \(y''=6x-6\) обращается в ноль при \(x=1\); точка перегиба — \((1;2)\).