4) Из точки М проведены две касательные к окружности с центром в точке О, касающиеся окружности в точках N и К. а) найдите МК, если MN=8 см б) найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки М до точки О равно 12 см

Дано:

• Окружность с центром О.
• MN и MK - касательные к окружности.
• Точки касания N и K.
• а) MN = 8 см
• б) ∠NMK = 60°, MO = 12 см

Найти:

• а) MK
• б) Радиус окружности (ON или OK)

Решение:

а) Найдем MK:

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от точки до точек касания равны. То есть:

MN = MK

Так как MN = 8 см, то MK = 8 см.

б) Найдем радиус окружности:

Рассмотрим треугольник △MNO. ON - радиус, проведенный к точке касания, поэтому ON ⊥ MN. Это значит, что ∠MNO = 90°.

△MNO - это прямоугольный треугольник.

Угол между касательными ∠NMK = 60°. Точка О лежит на биссектрисе этого угла, поэтому ∠NMO = ∠NMK / 2 = 60° / 2 = 30°.

В прямоугольном треугольнике △MNO:

We know:∠MNO = 90°

∠NMO = 30°

MO = 12 cm (гипотенуза)

ON = радиус (катет, противолежащий углу 30°)

По свойству катета, противолежащего углу в 30°, он равен половине гипотенузы:

ON = MO / 2

ON = 12 см / 2

ON = 6 см

Итак, радиус окружности равен 6 см.

Ответ:

• а) MK = 8 см
• б) Радиус окружности = 6 см