4. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96, тангенс угла BAC равен 8/15. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Так как треугольник ABC прямоугольный и \(\tan A=BC/AC=8/15\), его стороны относятся как \(BC:AC:AB=8:15:17\). Обозначим их соответственно \(8k,15k,17k\).

По формулам для высоты к гипотенузе: \(CP=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=\dfrac{120k}{17}\), \(BP=\dfrac{BC^2}{AB}=\dfrac{64k}{17}\).

Треугольник BCP прямоугольный, поэтому его вписанный радиус равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: \(96=\dfrac{BC+CP-BP}{2}=\dfrac{8k+\frac{120k}{17}-\frac{64k}{17}}{2}=\dfrac{96k}{17}\). Следовательно, \(k=17\).

Радиус вписанной окружности ABC: \(r=\dfrac{AC+BC-AB}{2}=\dfrac{15k+8k-17k}{2}=3k=51\).

Ответ: 51.