4. Известно, что \(\cos\alpha+\cos\beta=a\), \(\sin\alpha+\sin\beta=b\), \(a^2+b^2\ne0\). Выразите \(\sin(\alpha+\beta)\) через \(a\) и \(b\).

Положим \(u=\frac{\alpha+\beta}{2}\), \(v=\frac{\alpha-\beta}{2}\). Тогда

\(a=2\cos u\cos v\), \(b=2\sin u\cos v\). Поэтому \(a^2+b^2=4\cos^2v\ne0\), и

\(\sin(\alpha+\beta)=2\sin u\cos u=\frac{2ab}{a^2+b^2}\).

Ответ: \(\displaystyle\sin(\alpha+\beta)=\frac{2ab}{a^2+b^2}\).