5. Пять команд сыграли турнир в один круг. За ничью начислялось 1 очко, а за победу — одинаковое число x очков, не обязательно целое. Команды набрали 12, 8, 6, 5, 5 очков. За поражение очки не начислялись. Найдите x.

В турнире сыграно 5·4/2=10 матчей. Если ничьих d, то побед было 10−d; каждая ничья даёт в сумме 2 очка турнира, а победа — x очков. Поэтому сумма очков команд равна 2d+(10−d)x.

Сумма указанных очков равна 12+8+6+5+5=36. Кроме того, каждая команда сыграла 4 матча, значит её результат не превосходит 4x; из команды с 5 очками следует x≥5/4.

При x≥5/4 и пяти командах сумма очков совместима с числом ничьих только при x=2: например, из общего равенства 36=2d+(10−d)x имеем d=(36−10x)/(2−x) (при x≠2). Для x<2 это выражение при x≥5/4 не является целым числом от 0 до 10; при x>2 оно отрицательно. Следовательно, x=2.

Ответ: x=2.