7. В ромбе $ABCD$ острый угол $A$ равен $\alpha$. На лучах $AB$ и $AD$ выбраны точки $M$ и $N$ так, что $BM=AB$, $DN=AD$. Известно, что меньший угол между прямыми $MD$ и $NB$ также равен $\alpha$. Найдите $\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. В ромбе $ABCD$ острый угол $A$ равен $\alpha$. На лучах $AB$ и $AD$ выбраны точки $M$ и $N$ так, что…$ Фото задания

7. В ромбе $ABCD$ острый угол $A$ равен $\alpha$. На лучах $AB$ и $AD$ выбраны точки $M$ и $N$ так, что $BM=AB$, $DN=AD$. Известно, что меньший угол между прямыми $MD$ и $NB$ также равен $\alpha$. Найдите $\alpha$.

Accepted Answer

Пусть сторона ромба равна 1. Выберем координаты: $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $D=(\cos\alpha,\sin\alpha)$. Из условий следуют $M=(2,0)$ и $N=(2\cos\alpha,2\sin\alpha)$.

Направляющие векторы прямых можно взять такими: $\overrightarrow{MD}=(\cos\alpha-2,\sin\alpha)$ и $\overrightarrow{NB}=(1-2\cos\alpha,-2\sin\alpha)$. Их скалярное произведение равно $4-5\cos\alpha$, а модуль векторного произведения равен $3\sin\alpha$. Поэтому тангенс меньшего угла между прямыми равен $\left|\frac{3\sin\alpha}{4-5\cos\alpha}\right|$.

Угол между прямыми равен $\alpha$. Для острого $\alpha$ это даёт $\left|4-5\cos\alpha\right|=3\cos\alpha$. При $4-5\cos\alpha\ge0$ получается $\cos\alpha=\frac12$, то есть $\alpha=60^\circ$. Вторая возможность дала бы $\cos\alpha=2$, что невозможно.

Ответ: $60^\circ$.