4. Известно, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁ соответственно. На сторонах AC и A₁C₁ выбраны точки F и F₁ соответственно так, что AF : FC = A₁F₁ : F₁C₁ = 3 : 2. Докажите, что BF = B₁F₁.

Так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны с указанным соответствием вершин, AC = A₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁, а AB = A₁B₁.

Из AF : FC = 3 : 2 следует AF = 3/5 AC. Аналогично A₁F₁ = 3/5 A₁C₁. Поскольку AC = A₁C₁, получаем AF = A₁F₁.

Точки F и F₁ лежат соответственно на AC и A₁C₁, поэтому ∠BAF = ∠B₁A₁F₁. В треугольниках ABF и A₁B₁F₁ равны две стороны: AB = A₁B₁ и AF = A₁F₁, а также углы между ними. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Значит, соответствующие стороны BF и B₁F₁ равны. Что и требовалось доказать.