4. Известно, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁ — соответствующие (рис. 50). На сторонах AC и A₁C₁ выбраны точки F и F₁ соответственно так, что AF : FC = A₁F₁ : F₁C₁ = 3 : 2. Докажите, что BF = B₁F₁.

Из равенства треугольников следует, что AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

Так как AF : FC = 3 : 2, то AF составляет 3/5 от AC. Аналогично A₁F₁ составляет 3/5 от A₁C₁. Поскольку AC = A₁C₁, получаем AF = A₁F₁.

В треугольниках ABF и A₁B₁F₁ равны две стороны: AB = A₁B₁ и AF = A₁F₁. Угол между ними также равен: ∠BAF = ∠B₁A₁F₁, поскольку F лежит на AC, а F₁ — на A₁C₁. Следовательно, треугольники ABF и A₁B₁F₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Значит, соответствующие стороны BF и B₁F₁ равны.

Доказано: BF = B₁F₁.