4. Известны координаты вершин треугольника СРМ: C(-2; 8), P(6; 2), M(2; -6). Определите косинус меньшего угла треугольника.

Найдём квадраты длин сторон:

\(|CP|^2=(6-(-2))^2+(2-8)^2=8^2+(-6)^2=100\).

\(|PM|^2=(2-6)^2+(-6-2)^2=(-4)^2+(-8)^2=80\).

\(|MC|^2=(-2-2)^2+(8-(-6))^2=(-4)^2+14^2=212\).

Наименьшая сторона — PM, поэтому наименьший угол лежит напротив неё, при вершине C.

Векторы, образующие угол C: \(\overrightarrow{CP}=(8;-6)\), \(\overrightarrow{CM}=(4;-14)\). Их скалярное произведение равно \(8\cdot4+(-6)\cdot(-14)=116\), а длины равны \(|CP|=10\), \(|CM|=\sqrt{212}=2\sqrt{53}\).

\(\cos C=\frac{\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CM}}{|CP|\,|CM|}=\frac{116}{10\cdot2\sqrt{53}}=\frac{29}{5\sqrt{53}}\).

Ответ: \(\frac{29}{5\sqrt{53}}\).