4. К окружности радиусом 4 см провели касательную линию, которая образует угол 30° с радиусом, проведенным к точке касания. Найдите длину касательной, если она выходит из точки на расстоянии 12 см от центра.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус окружности, \( L \) — длина касательной, \( d \) — расстояние от центра до точки, из которой проведена касательная.

По условию:

• \( R = 4 \) см.
• \( d = 12 \) см.
• Угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен \( 90^ \).
• Угол между касательной и отрезком, соединяющим центр с внешней точкой, равен \( 30^ \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, касательной и отрезком от центра до внешней точки. В этом треугольнике:

• Гипотенуза — расстояние от центра до внешней точки \( d = 12 \) см.
• Один катет — радиус окружности \( R = 4 \) см.
• Второй катет — искомая длина касательной \( L \).

По теореме Пифагора: \( R^2 + L^2 = d^2 \).

\[ 4^2 + L^2 = 12^2 \]

\[ 16 + L^2 = 144 \]

\[ L^2 = 144 - 16 \]

\[ L^2 = 128 \]

\[ L = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \] см.

Ответ: \( 8\sqrt{2} \) см.