5. Докажите, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной к окружности в этой точке.

Доказательство:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( A \) — точка касания, \( AB \) — касательная к окружности в точке \( A \). Рассмотрим отрезок \( OA \), который является радиусом, проведенным к точке касания.

Предположим, что \( OA \) не перпендикулярен \( AB \). Тогда существует другой отрезок \( OC \) (где \( C \) — точка на прямой \( AB \)), который перпендикулярен \( AB \), и \( C \) лежит между \( A \) и \( B \) или \( A \) лежит между \( C \) и \( B \), или \( B \) лежит между \( C \) и \( A \).

Если \( OC \) перпендикулярен \( AB \), то \( OC \) — наименьшее расстояние от точки \( O \) до прямой \( AB \). Следовательно, \( OC < OA \).

Так как \( OA \) — радиус окружности, то \( OA = R \). Если \( OC < OA \), то \( OC < R \).

Это означает, что точка \( C \) лежит внутри окружности.

Однако, по свойству касательной, она имеет только одну общую точку с окружностью, которой является точка касания \( A \). Все остальные точки касательной лежат вне окружности.

Если \( C \) лежит внутри окружности, то прямая \( AB \) пересекает окружность в двух точках (или является секущей), а не касается её. Это противоречит условию, что \( AB \) — касательная.

Следовательно, наше предположение неверно. Отрезок \( OA \), проведенный из центра окружности к точке касания, должен быть перпендикулярен касательной \( AB \).

Доказано.