7. К окружности радиусом 5 см проведите две касательные, которые образуют угол 60° между собой. Найдите длину отрезка, соединяющего точки касания.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R = 5 \) см — радиус. Пусть \( A \) и \( B \) — точки касания, а \( P \) — точка пересечения касательных. Угол между касательными \( \angle APB = 60^ \).

Рассмотрим треугольник \( OAP \) и \( OBP \). Они прямоугольные (так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной) и равны по гипотенузе \( OP \) и катету \( OA = OB = R \).

Следовательно, \( \angle APO = \angle BPO = \frac{60^}{2} = 30^ \) и \( \angle AOP = \angle BOP = 90^ - 30^ = 60^ \).

Треугольник \( OAP \) — прямоугольный с углами \( 30^ \) и \( 60^ \). Отрезок \( AP \) — катет, противолежащий углу \( \angle AOP = 60^ \), а \( OA = 5 \) см — катет, противолежащий углу \( \angle APO = 30^ \).

Из свойств прямоугольного треугольника с углами \( 30^ \) и \( 60^ \):

\( AP = OA \cdot \tan(60^) = 5 \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) см.

или \( AP = \frac{OA}{\tan(30^)} = \frac{5}{1/\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \) см.

Поскольку \( PA = PB \), то \( PB = 5\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим треугольник \( APB \). Он равнобедренный с \( PA = PB = 5\sqrt{3} \) см и углом \( \angle APB = 60^ \). Следовательно, треугольник \( APB \) является равносторонним, и \( AB = AP = PB = 5\sqrt{3} \) см.

Длина отрезка, соединяющего точки касания, равна длине стороны равностороннего треугольника \( APB \).

Ответ: \( 5\sqrt{3} \) см.