4. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см.

Решение:

1. Треугольник ОВА:

Касательная АВ перпендикулярна радиусу ОВ, проведенному в точку касания. Следовательно, треугольник ОВА является прямоугольным с прямым углом при вершине В.

2. Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике ОВА квадрат гипотенузы (АО) равен сумме квадратов катетов (ОВ и АВ).

\[ AO^2 = OB^2 + AB^2 \]

Нам известны:

• AO = 13 см (гипотенуза)
• AB = 12 см (катет)

Найдем OB (это радиус окружности, обозначим его как 'r'):

\[ 13^2 = r^2 + 12^2 \]

\[ 169 = r^2 + 144 \]

\[ r^2 = 169 - 144 \]

\[ r^2 = 25 \]

\[ r = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

Ответ: Радиус окружности равен 5 см.