4 Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы а и b и противоположно направленные векторы с и d.

Коллинеарные векторы:

Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Проще говоря, если два вектора параллельны друг другу (неважно, в одном они направлении или в противоположных), то они коллинеарны.

Изображение векторов:

Для изображения векторов понадобится система координат. Представим, что начало координат (0,0) — это точка отсчета.

1. Сонаправленные векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ (лежат на одной или параллельных прямых и направлены в одну сторону):

Пусть $$\vec{a}$$ идет из (0,0) в (2,3). Тогда $$\vec{b}$$ может идти из (1,1) в (3,4) (т.е. параллелен $$\vec{a}$$ и имеет то же направление).

2. Противоположно направленные векторы $$\vec{c}$$ и $$\vec{d}$$ (лежат на одной или параллельных прямых и направлены в противоположные стороны):

Пусть $$\vec{c}$$ идет из (0,0) в (3,2). Тогда $$\vec{d}$$ может идти из (1,1) в (-1,-1) (т.е. параллелен $$\vec{c}$$, но направлен в противоположную сторону).

Визуализация (текстовое описание, так как рисовать непосредственно нельзя):

Представьте себе систему координат XOY.

• Сонаправленные $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$: Нарисуйте прямую линию, идущую из нижнего левого квадранта в верхний правый. На этой прямой нарисуйте два вектора (отрезка со стрелками) так, чтобы они оба были направлены вверх и вправо. Например, один вектор начинается от точки (0,0) и идет до (2,2), а второй — от точки (3,3) до (5,5).
• Противоположно направленные $$\vec{c}$$ и $$\vec{d}$$ : Нарисуйте другую прямую линию, идущую из нижнего правого квадранта в верхний левый (т.е. с отрицательным наклоном). На этой прямой нарисуйте два вектора, один из которых направлен вверх и влево, а другой — вниз и вправо. Например, вектор $$\vec{c}$$ от (0,0) до (-2,2), а вектор $$\vec{d}$$ от (1,1) до (3,-1).

Общее условие для коллинеарности: Два ненулевых вектора $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $$k$$, что $$\vec{a} = k \vec{b}$$.

• Если $$k > 0$$, векторы сонаправлены.
• Если $$k < 0$$, векторы противоположно направлены.
• Если $$k = 0$$, то $$\vec{a}$$ - нулевой вектор.