4. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 52°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник АОВС, где С - точка пересечения касательных.

• Углы при точках касания (ОАС и ОВС) равны 90°, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.
• Сумма углов четырехугольника равна 360°.
• Угол АОВ + Угол ОАС + Угол АСВ + Угол СВО = 360°.
• Угол АОВ + 90° + 52° + 90° = 360°.
• Угол АОВ = 360° - 90° - 90° - 52° = 138°.
• Рассмотрим треугольник АВО. Треугольник АВО является равнобедренным, так как ОА и ОВ — радиусы окружности.
• Следовательно, углы при основании АВ равны: угол ОАВ = угол ОВА.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Угол АОВ + Угол ОАВ + Угол ОВА = 180°.
• 138° + 2 * Угол АВО = 180°.
• 2 * Угол АВО = 180° - 138° = 42°.
• Угол АВО = 42° / 2 = 21°.

Ответ: 21