4. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см. Найдите периметр треугольника, подобного данному, если его площадь равна 24 см².

Сначала найдём гипотенузу исходного треугольника:

\[c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\text{ см}.\]

Периметр исходного треугольника:

\[P = 12 + 16 + 20 = 48\text{ см}.\]

Его площадь:

\[S = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16 = 96\text{ см}^2.\]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[k^2 = \frac{24}{96} = \frac{1}{4}, \qquad k = \frac{1}{2}.\]

Периметр подобного треугольника:

\[P_1 = 48\cdot\frac{1}{2} = 24\text{ см}.\]

Ответ: 24 см.