4. \(\left(2x+\frac1x\right)^2+2x+\frac1x-12=0\)

1. Область допустимых значений: \(x\ne0\). Обозначим \(t=2x+\frac1x\). Тогда \(t^2+t-12=0\).
2. Разложим на множители: \((t+4)(t-3)=0\), поэтому \(t=-4\) или \(t=3\).
3. При \(t=3\): \(2x+\frac1x=3\). Умножаем на \(x\): \(2x^2-3x+1=0\), откуда \(x=1\) или \(x=\frac12\).
4. При \(t=-4\): \(2x+\frac1x=-4\). Умножаем на \(x\): \(2x^2+4x+1=0\), откуда \(x=-1\pm\frac{\sqrt2}{2}\). Все найденные значения не равны нулю.

Ответ: \(x=1,\;\frac12,\;-1+\frac{\sqrt2}{2},\;-1-\frac{\sqrt2}{2}\).