4) \(\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}\)

ОДЗ: \(x\ne-2,0,2,\pm\sqrt{6}\).

Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\[\frac{2x+5}{(x+2)^2}-\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}.\]

Упростим числитель:

\[x(2x+5)-(x+3)(x+2)=2x^2+5x-(x^2+5x+6)=x^2-6.\]

Получаем:

\[\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}:\frac{x^2-6}{x^3-4x}.\]

Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим разность куба и произведения:

\[\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x^3-4x}{x^2-6}=\frac{x^3-4x}{x(x+2)^2}=\frac{x(x-2)(x+2)}{x(x+2)^2}=\frac{x-2}{x+2}.\]

Ответ: \(\frac{x-2}{x+2}\), \(x\ne-2,0,2,\pm\sqrt{6}\).