4. M(−3; 2), P(−1; −2), K(2; 1), D(5; b) нүктелері берілген. a) b векторының қандай мәнінде \(\overrightarrow{MP}\) және \(\overrightarrow{KD}\) коллинеар болады? b) b векторының қандай мәнінде \(\overrightarrow{MP}\) және \(\overrightarrow{KD}\) перпендикуляр болады?

Алдымен векторлардың координаталарын табамыз: \(\overrightarrow{MP}=P-M=(2;-4)\), \(\overrightarrow{KD}=D-K=(3;b-1)\).

a) Коллинеарлық: координаталар пропорционал болуы керек. Детерминантты нөлге теңестіреміз: \(2(b-1)-(-4)\cdot3=0\). Бұдан \(2b+10=0\), сондықтан \(b=-5\).

b) Перпендикулярлық: скаляр көбейтінді нөлге тең: \((2;-4)\cdot(3;b-1)=0\). Демек, \(6-4(b-1)=0\), \(10-4b=0\), сондықтан \(b=\frac52\).

Жауап: a) \(b=-5\); b) \(b=\frac52\).