4. Медиана равнобедренного треугольника делит его периметр на части, которые равны 12 см и 9 см. Найдите стороны треугольника.

Решение: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и медиана BM проведена к основанию AC. Тогда AM = MC. Пусть AB = BC = x, AC = y. Периметр треугольника ABC равен P = x + x + y = 2x + y. Медиана BM делит периметр на две части: AB + AM = x + \(\frac{y}{2}\) и BC + MC = x + \(\frac{y}{2}\). По условию, медиана делит периметр на части 12 см и 9 см. Рассмотрим два случая: Случай 1: x + \(\frac{y}{2}\) = 12 и x + y = 9. Из первого уравнения: \(\frac{y}{2}\) = 12 - x, тогда y = 24 - 2x. Подставим во второе уравнение: x + 24 - 2x = 9, -x = -15, x = 15. Тогда y = 9 - 15 = -6. Но y не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен. Случай 2: x + \(\frac{y}{2}\) = 9 и x + y = 12. Из первого уравнения: \(\frac{y}{2}\) = 9 - x, тогда y = 18 - 2x. Подставим во второе уравнение: x + 18 - 2x = 12, -x = -6, x = 6. Тогда y = 12 - 6 = 6. Получается, что AB = BC = 6 см, AC = 6 см. Но медиана проводится к основанию. Предположим, медиана проведена к боковой стороне. Тогда AM = 12, MC = 9 или наоборот. В таком случае, если медиана проведена к боковой стороне, то она делит сторону на 2 равные части, т.е. получается, что боковые стороны будут разными, а треугольник равнобедренный. Однако условие задачи говорит о том, что медиана делит периметр на части 12 и 9, значит случай 1 - это когда x + \(\frac{y}{2}\) = 12, а случай 2 - это когда x + \(\frac{y}{2}\) = 9 Предположим медиана делит боковую сторону. Тогда x/2 + x + y = 12 и x/2 + x + y = 9 Тогда AC = 2y. x + x/2 + y = 12 или x + x/2 + y = 9 3x/2 + y = 12 или 3x/2 + y = 9. Пусть боковые стороны равны. Тогда периметр 2x + y. 2x + y = 21. Тогда x/2 + x = 12, x/2 + x = 9. Пересмотрим условие: медиана проведена к основанию, и делит периметр так, что x + x/2 = 9, x + x/2 = 12. Если x + x/2 = 9, то 3x/2 = 9, x = 6. Если x + x/2 = 12, то 3x/2 = 12, x = 8. В первом случае y = 21 - 2*6 = 9. Стороны: 6, 6, 9. Во втором случае y = 21 - 2*8 = 5. Стороны 8, 8, 5. Ответ: Стороны треугольника могут быть 6 см, 6 см, 9 см или 8 см, 8 см, 5 см.