4. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите величину угла BAC, если известно, что ∠ACB = 47° и AC = 3BM.

Центр тяжести делит медиану в отношении 2 : 1 от вершины, поэтому BM = (2/3)BB₁. Из условия AC = 3BM следует AC = 2BB₁.

Обозначим стороны треугольника: a = BC, b = AC, c = AB. Длина медианы к стороне b удовлетворяет равенству 4BB₁² = 2a² + 2c² − b². Так как b = 2BB₁, получаем b² = 2a² + 2c² − b², то есть b² = a² + c².

По обратной теореме Пифагора угол ABC прямой. Тогда ∠BAC = 180° − 90° − 47° = 43°.

Ответ: 43°.