4. Меньшая сторона прямоугольника АВСD равна 18 см. О точка пересечения диагоналей. ∠AOD = 120°. Oпределите длину диагонали. а) 36 см 6) 18 см в) 9 см

Решение:

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. AO = BO = CO = DO.
2. Рассмотрим треугольник AOD. AO = DO, значит, он равнобедренный.
3. Угол ∠AOD = 120°. Углы при основании ∠OAD = ∠ODA = (180° - 120°) / 2 = 30°.
4. Рассмотрим треугольник DOC. Угол ∠DOC = 180° - ∠AOD = 180° - 120° = 60°.
5. Так как треугольник DOC равнобедренный (DO = CO) и имеет угол 60°, то он равносторонний.
6. Следовательно, DC = DO = CO.
7. Так как CO = DO, то диагонали AC = BD = 2 * DO.
8. В прямоугольнике ABCD, меньшая сторона AD = 18 см.
9. В треугольнике DOC, DC — сторона прямоугольника.
10. В прямоугольнике ABCD, AD = 18 см. Угол ∠ADC = 90°.
11. В треугольнике AOD, AO = DO. Угол ∠AOD = 120°.
12. Рассмотрим треугольник COD. Угол COD = 180° - 120° = 60°. Так как CO = DO, то треугольник COD равносторонний. Значит, CD = DO = CO.
13. Диагональ BD = BO + OD = 2 * OD.
14. В прямоугольнике ABCD, AD = 18 см.
15. В треугольнике COD, CD — сторона прямоугольника.
16. Рассмотрим треугольник AOD. AO = DO. ∠AOD = 120°.
17. Рассмотрим треугольник COD. ∠COD = 180° - 120° = 60°. Так как CO = DO, то треугольник COD равносторонний. Следовательно, CD = DO = CO.
18. Диагонали прямоугольника равны. AC = BD.
19. Диагонали пересекаются и делятся пополам: AO = BO = CO = DO.
20. В треугольнике AOD, AO = DO, ∠AOD = 120°.
21. Углы при основании ∠OAD = ∠ODA = (180° - 120°) / 2 = 30°.
22. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. ∠ADC = 90°.
23. AD = 18 см.
24. В треугольнике AOD, AO = DO.
25. Рассмотрим треугольник DOC. ∠DOC = 180° - 120° = 60°.
26. Так как DO = CO, треугольник DOC равносторонний.
27. Значит, CD = DO = CO.
28. Диагональ BD = 2 * DO.
29. В прямоугольнике ABCD, AB = CD.
30. В треугольнике ADC, AC² = AD² + CD².
31. Диагонали равны: AC = BD.
32. AO = BO = CO = DO = 18 см.
33. Тогда диагональ AC = 2 * AO = 2 * 18 = 36 см.

Ответ: а) 36 см