4. Между какими соседними членами убывающей последовательности заключено значение выражения \(\frac1{\sqrt3+1}+\frac1{\sqrt5+\sqrt3}+\frac1{\sqrt7+\sqrt5}+\ldots+\frac1{\sqrt{21}+\sqrt{19}}\)?

Рационализируем каждый знаменатель:

\(\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-2}}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-2}}{n-(n-2)}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-2}}2\).

Поэтому сумма телескопическая:

\[S=\frac{\sqrt3-1+\sqrt5-\sqrt3+\sqrt7-\sqrt5+\ldots+\sqrt{21}-\sqrt{19}}2=\frac{\sqrt{21}-1}2.\]

Так как \(4<\sqrt{21}<5\), то \(\frac32

Ответ: значение выражения заключено между соседними членами \(\frac32\) и \(2\): \(\frac32< S<2\).