4. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 30 км от A. Пройдя в пункте B 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт A в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

На стоянку ушло 2,5 часа, а на движение туда и обратно — \(18-10-2,5=5,5\) часа.

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению равна \(v+1\), а против течения — \(v-1\). Составим уравнение для времени пути:

\(\frac{30}{v+1}+\frac{30}{v-1}=5,5\), где \(v>1\).

Сложим дроби: \(\frac{60v}{v^2-1}=\frac{11}{2}\), откуда \(120v=11v^2-11\), то есть \(11v^2-120v-11=0\).

Корни: \(v=11\) и \(v=-\frac{1}{11}\). Отрицательная скорость не подходит. Проверка: \(30/12+30/10=2,5+3=5,5\) часа.

Ответ: 11 км/ч.