4. На диагонали AC прямоугольника ABCD отложены равные отрезки AE и PC. Определите вид четырёхугольника BEPD.

Пусть \(AE=PC\). Так как точки E и P лежат на диагонали AC, точки на диагонали расположены в порядке A–E–P–C. Следовательно, \(AE=PC\) означает, что E и P симметричны относительно середины AC.

Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(w,0)\), \(C(w,h)\), \(D(0,h)\). Если \(E=(tw,th)\), то из \(AE=PC\) следует \(P=((1-t)w,(1-t)h)\).

Векторы \(\overrightarrow{BE}=((t-1)w,th)\) и \(\overrightarrow{DP}=((1-t)w,-th)\) противоположны не всегда; проверим другую пару: \(\overrightarrow{EB}=((1-t)w,-th)\), \(\overrightarrow{PD}=(-(1-t)w,th)\). Они противоположны, значит стороны BE и PD параллельны и равны.

Ответ: BEPD — параллелограмм.