№ 4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что BM = DN. Докажите, что четырёхугольник AMCN — параллелограмм.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BD.

Точки M и N лежат на BD, а BM=DN. Поскольку O — середина BD, равные отрезки BM и DN расположены симметрично относительно O; следовательно, OM=ON, и O — середина MN.

В четырёхугольнике AMCN диагонали — AC и MN. Они пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, AMCN — параллелограмм.