4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки R и M так, что BK = DM (точка K лежит между точками B и M). Докажите, что ∠BCK = ∠DAM.

В условии есть несогласованность обозначений: сначала названы точки R и M, но далее используется K; также не сказано прямо, что K лежит на BD. Доказательство ниже верно при естественном прочтении: точки K и M лежат на диагонали BD, причём K находится между B и M, а BK = DM.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся пополам, значит \(BO=DO\). Из условия \(BK=DM\), поэтому точки K и M симметричны относительно O на диагонали BD: отражение относительно O переводит B в D, K в M.

Та же центральная симметрия переводит C в A. Она сохраняет величину углов, а лучи CB и CK переходят соответственно в лучи AD и AM. Следовательно, \(\angle BCK=\angle DAM\).