6. Через середину D гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке E, а другая — катет BC в точке F. Найдите гипотенузу AB, если EF = 9 см.

Пусть прямой угол треугольника находится при \(C\), так что \(AC\) и \(BC\) — катеты. Поскольку \(D\) — середина гипотенузы \(AB\), в прямоугольном треугольнике \(DA=DB=DC\).

Через \(D\) проведены прямые, параллельные катетам. Точки их пересечения с катетами \(AC\) и \(BC\) образуют вместе с \(D\) прямоугольник \(CEDF\). Его диагонали равны, поэтому \(EF=CD\). Следовательно, \(CD=9\) см.

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы: \(CD=\frac{AB}{2}\). Значит, \(AB=2\cdot9=18\) см.

Ответ: 18 см.