4*. На доске в строчку написаны двадцать пятёрок. Поставив между некоторыми из них знак «+», Вася обнаружил, что сумма равна 1000. Сколько плюсов поставил Вася? Подчеркни правильный ответ.

Решение:

На доске написаны двадцать пятёрок: 5 5 5 ... 5 (всего 20 пятёрок).

Чтобы получить сумму 1000, нужно решить уравнение. Пусть \( k \) — количество поставленных знаков «+». Тогда количество пятёрок, участвующих в сложении, будет \( k + 1 \).

Сумма будет равна: \( 5 \cdot (k + 1) \)

По условию, сумма равна 1000:

\( 5 \cdot (k + 1) = 1000 \)

Разделим обе части на 5:

\( k + 1 = \frac{1000}{5} \)
\( k + 1 = 200 \)

Вычтем 1 из обеих частей:

\( k = 200 - 1 \)
\( k = 199 \)

Это значит, Вася поставил 199 плюсов. Однако, в предложенных вариантах ответа такого числа нет. Перечитаем условие: "двадцать пятёрок". Возможно, имеется в виду, что между пятёрками ставятся плюсы, и всего пятёрок 20.

Если всего 20 пятёрок, и между ними ставятся плюсы, то количество промежутков равно \( 20 - 1 = 19 \). Таким образом, максимальное количество плюсов, которое можно поставить, равно 19.

Давайте проверим, какую максимальную сумму можно получить, расставив 19 плюсов:

\( 5 + 5 + ... + 5 \) (20 раз) = \( 20 \cdot 5 = 100 \)

Это означает, что если между каждую пару пятёрок поставить знак «+», сумма будет равна 100. Получить 1000, имея только 20 пятёрок и знак «+», невозможно.

Возможно, в условии имелось в виду другое количество пятёрок, или другие цифры. Однако, следуя строго условию "двадцать пятёрок", мы не можем получить сумму 1000. Если же предположить, что "двадцать" относится к сумме, а не к количеству пятёрок, то это тоже не соответствует условию.

Давайте предположим, что условие задачи неточное, и что имелось в виду, что между двадцатью знаками «+» стоят пятёрки. Тогда количество пятёрок будет 21.

\( 5 \cdot 21 = 105 \)

Если предположить, что "двадцать" — это количество ПЛЮСОВ, тогда пятёрок будет 21. Сумма будет \( 21 \times 5 = 105 \).

Если предположить, что "двадцать" — это количество ПЯТЁРОК, и мы ставим между ними знаки «+», то максимальное количество плюсов — 19. Сумма будет \( 20 \times 5 = 100 \).

Наиболее вероятно, что в условии опечатка, и имелось в виду, что Вася получил сумму 100, или цифр было больше. Однако, если исходить из предложенных вариантов (6, 8, 9, 10, 11), то они никак не соотносятся с получением суммы 1000 из двадцати пятёрок.

Пересмотрим задачу: "На доске в строчку написаны двадцать пятёрок. Поставив между некоторыми из них знак «+», Вася обнаружил, что сумма равна 1000."

Пусть \( n \) - количество пятёрок, \( k \) - количество плюсов.

\( n = 20 \)

\( k \) - количество плюсов.

Тогда всего чисел будет \( k + 1 \).

Сумма: \( 5 \times (k+1) = 1000 \)

\( k+1 = 200 \)

\( k = 199 \)

Возможно, имелось в виду, что цифры не пятёрки, а какая-то другая цифра. Или что цифр не 20.

Если предположить, что вопрос имеет отношение к одному из вариантов ответа, то рассмотрим вариант, что количество плюсов - 10.

Если \( k = 10 \), то пятёрок \( n = k + 1 = 11 \).

Сумма = \( 11 \times 5 = 55 \)

Это не 1000.

Если предположить, что \( k=199 \) — правильный ответ, но он не предложен. Возможно, условие задачи подразумевает, что можно использовать другие операции, или что цифры не одинаковые. Но по условию - "двадцать пятёрок".

Однако, в задании есть варианты ответов, и мы должны выбрать один из них. Это означает, что есть какое-то решение, которое приводит к одному из этих чисел.

Единственное, что приходит на ум, это если \( k \) - это количество пятёрок, а не плюсов.

Пусть \( k \) - количество пятёрок. Тогда \( k=20 \).

Пусть \( x \) - количество плюсов.

\( 5 \times (20) = 100 \).

В условии сказано: "двадцать пятёрок". Это значит, что всего 20 чисел 5. Если мы ставим между ними знаки «+», то будет \( 20 - 1 = 19 \) плюсов. Сумма равна \( 20 \times 5 = 100 \).

Если же условие задачи звучит так, что "сумма равна 1000, сколько плюсов поставил Вася?", и варианты ответов — это количество плюсов, то ни один из них не подходит.

Давайте предположим, что "двадцать" — это число, которое записывается как \( 20 \) пятёрок, например \( 55...5 \) (20 раз). Но тогда это не числа, а одна большая запись.

Единственный логичный вывод, если мы должны выбрать ответ из предложенных:

Если \( k \) - количество плюсов.

\( 5 \times (k+1) = 1000 \)

\( k+1 = 200 \)

\( k = 199 \)

Если же предположить, что \( k \) - это количество пятёрок, и \( k=20 \), то сумма \( 20 \times 5 = 100 \).

Возможно, имелось в виду, что Вася получил сумму 100, а не 1000, и тогда \( 5 \times (k+1) = 100 \), \( k+1 = 20 \), \( k = 19 \). Но 19 нет в вариантах.

Есть еще одна интерпретация: может быть, Вася мог вставлять не только «+», но и другие знаки? Но в условии указан только «+».

Очень похоже на опечатку в условии задачи.

Рассмотрим варианты ответов как количество ПЛЮСОВ:

1. Если 6 плюсов, то 7 пятёрок. Сумма: \( 7 \times 5 = 35 \).
2. Если 8 плюсов, то 9 пятёрок. Сумма: \( 9 \times 5 = 45 \).
3. Если 9 плюсов, то 10 пятёрок. Сумма: \( 10 \times 5 = 50 \).
4. Если 10 плюсов, то 11 пятёрок. Сумма: \( 11 \times 5 = 55 \).
5. Если 11 плюсов, то 12 пятёрок. Сумма: \( 12 \times 5 = 60 \).

Ни один из вариантов не даёт сумму 1000.

Перечитаем внимательно: "двадцать пятёрок".

Возможно, "двадцать" — это число, которое записано этими пятёрками. Например, число 20, составленное из пятёрок. Это не имеет смысла.

Предположим, что в условии задачи пропущена информация, например, что можно использовать другие цифры, или что "двадцать" — это количество знаков «+».

Если \( k=20 \) (количество плюсов), то пятёрок \( n = 20 + 1 = 21 \). Сумма \( 21 \times 5 = 105 \).

Если допустить, что числа не только пятёрки, а какие-то другие цифры, и их всего 20, чтобы получить 1000, нужно, чтобы среднее число было \( 1000 / 20 = 50 \).

Или, если количество плюсов \( k \) и количество чисел \( n \).

\( n \times \text{среднее значение} = 1000 \)

\( k + 1 = n \)

\( (k+1) \times \text{среднее значение} = 1000 \)

Если среднее значение - 5, то \( k+1 = 200 \), \( k = 199 \). Опять 199.

Есть еще вариант, что "двадцать пятёрок" означает число 5, написанное 20 раз, например, \( 555...5 \) (20 цифр). Но это число. И мы ставим между ними знак «+».

Вернемся к вариантам ответа. Если один из них верен, значит, есть какое-то условие, которое мы упускаем.

Может быть, "двадцать пятёрок" — это число 20, и оно записывается пятёрками? Нет.

Если задача была такая: "На доске написано число 20. Вася поставил между цифрами знак "+" и получил сумму, равную 1000. Сколько плюсов он поставил?" Это тоже не подходит.

Рассмотрим ещё раз: "двадцать пятёрок".

Что если "двадцать" - это результат, а "пятёрок" - это цифра, которая используется?

Если \( k \) - количество плюсов, то \( k+1 \) - количество чисел.

\( (k+1) \times 5 = 1000 \)

\( k+1 = 200 \)

\( k = 199 \)

Единственный способ получить один из предложенных ответов — это если условие было совершенно другим. Например, если бы сумма была 55, то \( 5 \times (k+1) = 55 \) -> \( k+1=11 \) -> \( k=10 \). В таком случае ответ был бы D 10.

Если предположить, что задача написана с ошибкой, и сумма должна быть 55, тогда ответ D.

Но если исходить строго из условия "сумма равна 1000", то правильного ответа среди предложенных нет.

Учитывая, что это задание с выбором ответа, и часто в таких заданиях бывают опечатки, ищу наиболее вероятный сценарий.

Если бы было "одиннадцать пятёрок", и сумма 55, то \( 11 \times 5 = 55 \), а плюсов \( 11-1=10 \). Это ответ D.

Если бы было "шесть пятёрок", и сумма 35, то \( 6 \times 5 = 30 \), а плюсов \( 6-1=5 \). Нет 5.

Если допустить, что "двадцать" - это не количество пятёрок, а что-то другое. Например, если Вася имел 20 предметов, и ставил между ними знаки «+».

Если принять, что правильный ответ - D (10), то должно быть 11 пятёрок, сумма 55.

Сделаем предположение, что в задаче опечатка, и сумма должна быть 55, а не 1000. В этом случае, чтобы получить сумму 55, нужно 11 пятёрок (11 * 5 = 55). Если пятёрок 11, то плюсов между ними 10.

Однако, придерживаясь строго условия, правильного ответа нет. Если бы пришлось выбрать, я бы выбрал D, предполагая опечатку в сумме.

В целях выполнения задания, выберем ответ, который бы соответствовал логичной сумме (например, 55) и количеству плюсов.

Если бы сумма была 55, то: \( 5 \times (k+1) = 55 \) \( k+1 = 11 \) \( k = 10 \)

Ответ: D 10