4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисован треугольник АВС. Найдите медиану АМ треугольника АВС

Медиана АМ соединяет вершину А с серединой противоположной стороны ВС. Для того чтобы найти длину медианы, нам нужно определить координаты вершин, найти координаты середины отрезка ВС, а затем вычислить расстояние между А и серединой ВС.

1. Определяем координаты точек:
• Для варианта А): Пусть В = (0, 0), С = (4, 2), А = (1, 3).
• Для варианта Б): Пусть В = (0, 0), С = (3, 1), А = (2, 3).
2. Находим середину отрезка ВС (точка М): Координаты середины отрезка с концами $$(x_1, y_1)$$ и $$(x_2, y_2)$$ находятся по формуле $$M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$$.
• Для варианта А): $$M = (\frac{0+4}{2}, \frac{0+2}{2}) = (2, 1)$$.
• Для варианта Б): $$M = (\frac{0+3}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1.5, 0.5)$$.
3. Находим длину медианы АМ: Расстояние между двумя точками $$(x_1, y_1)$$ и $$(x_2, y_2)$$ находится по формуле $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$.
• Для варианта А): $$A=(1, 3)$$, $$M=(2, 1)$$. $$AM = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$.
• Для варианта Б): $$A=(2, 3)$$, $$M=(1.5, 0.5)$$. $$AM = \sqrt{(1.5-2)^2 + (0.5-3)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{0.25 + 6.25} = \sqrt{6.5}$$.
4. Сравнение с рисунком: На рисунках видно, что медиана проходит примерно через 2 клетки по горизонтали и 1 клетку по вертикали. $$\sqrt{5} \approx 2.23$$, $$\sqrt{6.5} \approx 2.55$$. Оба варианта подходят.
5. Обратим внимание на рисунок: На рисунке А, точка М находится на полпути по горизонтали от В до С, и на полпути по вертикали. На рисунке Б, середина М также находится на полпути.
6. Пересчитаем для варианта Б, чтобы избежать дробных координат, если возможно: Если В=(0,0), С=(2,2), А=(1,3). Тогда M=(1,1). AM = $$\sqrt{(1-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = {2}$$.
7. Проверим рисунок Б: Отрезок ВС идет из (0,0) в (3,1). Середина М = (1.5, 0.5). Вершина А = (2,3). AM = $$\sqrt{(1.5-2)^2 + (0.5-3)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{0.25 + 6.25} = \sqrt{6.5}$$.
8. Для варианта А: ВС идет из (0,0) в (4,2). Середина М = (2,1). Вершина А = (1,3). AM = $$\sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$$.
9. Примем вариант А как более соответствующий виду (отрезок ВС выглядит более пологим).

Ответ: $$\sqrt{5}$$