7. Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 50°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

В этой задаче нам дан треугольник АВС, где стороны АС и ВС равны. Луч СМ — биссектриса внешнего угла BCD, и нам известно, что угол MCD равен 50°. Нужно найти угол ВАС.

1. Анализируем условие: Треугольник АВС, $$AC = BC$$. Луч СМ — биссектриса внешнего угла BCD. $$\angle MCD = 50°$$.
2. Свойства равнобедренного треугольника: Поскольку $$AC = BC$$, треугольник АВС является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны: $$\angle BAC = \angle ABC$$.
3. Находим внешний угол BCD: Так как СМ — биссектриса внешнего угла BCD, то она делит этот угол пополам. Значит, $$\angle BCM = \angle MCD = 50°$$.
4. Полный внешний угол BCD: $$\angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 50° + 50° = 100°$$.
5. Связь внешнего угла с внутренними углами: Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов. Внешний угол BCD смежен с внутренним углом АСВ.
6. Находим внутренний угол АСВ: $$\angle ACB + \angle BCD = 180°$$. $$\angle ACB = 180° - \angle BCD = 180° - 100° = 80°$$.
7. Находим угол ВАС: Теперь у нас есть внутренний угол АСВ = 80°. Так как треугольник АВС равнобедренный с $$AC = BC$$, то $$\angle BAC = \angle ABC$$.
8. Сумма углов в треугольнике: $$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°$$.
9. Подставляем известные значения: $$\angle BAC + \angle BAC + 80° = 180°$$.
10. Решаем уравнение: $$2 \cdot \angle BAC = 180° - 80°$$. $$2 \cdot \angle BAC = 100°$$. $$\angle BAC = \frac{100°}{2} = 50°$$.

Ответ: 50