4. На медиане AE треугольника ABC отметили точку O так, что AO:OE = 5:3. В каком отношении прямая BO делит сторону AC?

Так как AE — медиана, точка E является серединой BC: \(BE=EC\).

1. Из условия \(AO:OE=5:3\), поэтому \(AO:AE=\frac{5}{8}\).
2. Используем координаты: пусть \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(C=(0,1)\). Тогда \(E=\left(\frac12,\frac12\right)\).
3. Точка O делит AE в отношении \(5:3\), поэтому \(O=\frac58E=\left(\frac{5}{16},\frac{5}{16}\right)\).
4. Пусть \(BO\) пересекает AC в точке X. Из уравнения прямой BO получаем координаты \(X=\left(0,\frac{5}{11}\right)\).
5. Следовательно, \(AX:XC=\frac{5}{11}:\frac{6}{11}=5:6\).

Ответ: сторона AC делится в отношении \(AX:XC=5:6\).