4. На медиане AE треугольника ABC отметили точку O так, что AO:OE = 7:4. В каком отношении прямая BO делит сторону AC?

Пусть прямая BO пересекает AC в точке P. Так как AE — медиана, E — середина AC. Возьмём координаты: A = 0, C = 2, тогда E = 1. Из AO:OE = 7:4 следует, что O находится на \(\frac{7}{11}\) пути от A к E, то есть \(O=\frac{7}{11}\).

Прямая через B и O пересекает основание AC так, что \(\dfrac{AP}{PC}=\dfrac{O}{2-O}=\dfrac{7/11}{15/11}=\dfrac{7}{15}\).

Ответ: AP:PC = 7:15.