4) На окружности последовательно расположены точки A, B, C, D. Дуги BC = 117°, CD = 41°, DA = 53°. Углы x и y — вписанные углы при вершинах A и C соответственно. Найти x и y.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол \(x\) опирается на дугу \(BC\):

\(x=\frac{117^\circ}{2}=58{,}5^\circ\).

Сначала найдём дугу AB:

\(\overset{\frown}{AB}=360^\circ-117^\circ-41^\circ-53^\circ=149^\circ\).

Угол \(y\) опирается на дугу AB:

\(y=\frac{149^\circ}{2}=74{,}5^\circ\).

Ответ: \(x=58{,}5^\circ\), \(y=74{,}5^\circ\).