4. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки P и Q так, что AP = CQ. Докажите, что треугольник PBQ равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике ABC высота, проведённая из вершины B к основанию AC, является осью симметрии. При отражении относительно этой оси точка A переходит в C. Поскольку AP = CQ, точка P переходит в Q. Точка B лежит на оси симметрии, поэтому расстояния от B до симметричных точек P и Q равны: BP = BQ.

Следовательно, треугольник PBQ равнобедренный.