5. Докажите равенство треугольников MON и PON, если ∠MON = ∠PON, а луч NO — биссектриса угла MNP. Найдите углы треугольника NOP, если ∠MNO = 28°, ∠NMO = 42°.

В треугольнике MON сумма углов равна 180°, поэтому ∠MON = 180° − 28° − 42° = 110°. По условию ∠PON = ∠MON = 110°. Луч NO — биссектриса угла MNP, значит, ∠ONP = ∠MNO = 28°.

Однако тогда сумма двух углов треугольника NOP уже равна 110° + 28° = 138°, а третий угол должен быть 42°. Но угол ∠PON равен 110°, тогда как исходное условие о равенстве треугольников MON и PON требует соответствия вершин M ↔ P, O ↔ O, N ↔ N и, в частности, равенства ∠MNO и ∠PNO. При указанном биссектрисном условии это равенство выполняется, но равенство сторон и углов по данным не следует: из полученного ∠PON = 110° и ∠ONP = 28° выходит ∠NPO = 42°. Данные позволяют найти углы NOP, однако требуют, чтобы ∠MON также был 110°; это согласуется с суммой углов в MON.

Итак, треугольник NOP имеет углы 28°, 110° и 42°. При этом само утверждение о равенстве треугольников MON и PON не следует из перечисленных условий без дополнительного равенства сторон; оно не требуется для вычисления углов.

Ответ: ∠ONP = 28°, ∠PON = 110°, ∠NPO = 42°.