4. На прямой расположены точки $A,B,C$, как показано на рисунке. Через точку $B$ проведена прямая $l$, и на ней отмечена произвольная точка $M$. Обозначим длину отрезка $AC$ за $a$, а величину угла $MBC$ — за $\alpha$. Выразите расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $AMB$ и $CMB$ через $a$ и $\alpha$. Найдите это расстояние, если $a=7$, $\cos\alpha=-0{,}2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. На прямой расположены точки $A,B,C$, как показано на рисунке. Через точку $B$ проведена прямая $l$, и на ней…$ Фото задания

4. На прямой расположены точки $A,B,C$, как показано на рисунке. Через точку $B$ проведена прямая $l$, и на ней отмечена произвольная точка $M$. Обозначим длину отрезка $AC$ за $a$, а величину угла $MBC$ — за $\alpha$. Выразите расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $AMB$ и $CMB$ через $a$ и $\alpha$. Найдите это расстояние, если $a=7$, $\cos\alpha=-0{,}2$.

Accepted Answer

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $AMB$ и $CMB$. Так как оба центра равноудалены от $B$ и $M$, они лежат на серединном перпендикуляре к $BM$.

В треугольнике $AMB$ угол при $B$ равен $180^\circ-\alpha$, а в треугольнике $CMB$ он равен $\alpha$. По формуле радиуса описанной окружности $R=\frac{d}{2\sin\theta}$, где $d$ — сторона напротив угла $\theta$, получаем проекции центров на прямую $AC$: расстояние между ними составляет половину $AC$. Следовательно, $O_1O_2=\frac a2$.

Подставим $a=7$: $O_1O_2=\frac72=3{,}5$.

Ответ: $O_1O_2=\frac a2$; при данных значениях — $3{,}5$.