4. На рисунке 12 изображена трапеция ABCD, в которой BC ∥ AD, BC = 3 см, AD = 8 см, ∠ADC = 60°. Диагональ BD трапеции делит угол ADC пополам. Найдите диагональ AC трапеции.

Так как диагональ \(BD\) делит угол \(ADC\) пополам, то \(\angle ADB=\angle BDC=30^\circ\). Из параллельности оснований \(BC\parallel AD\) следует, что \(\angle CBD=\angle ADB=30^\circ\).

В треугольнике \(BCD\) углы при \(B\) и \(D\) равны 30°, поэтому противоположные им стороны равны: \(CD=BC=3\) см.

В треугольнике \(ACD\) применим теорему косинусов:

\(AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot\cos60^\circ=8^2+3^2-2\cdot8\cdot3\cdot\frac12=49\).

Значит, \(AC=7\) см.

Ответ: 7 см.