4. На рисунке 2 AK = AE, ∠1 = ∠2. Докажите, что ∠B = ∠C.

Точки B, K, A лежат на одной прямой; точки C, O, K — на одной прямой; точки B, O, E — на одной прямой; точки C, E, A — на одной прямой.

1. Так как AK = AE, треугольник AKE равнобедренный, поэтому ∠AKE = ∠KEA.
2. Углы ∠1 и ∠AKE смежные, значит, ∠AKE = 180° − ∠1. Угол ∠KEA равен ∠2 как вертикальный угол к нему.
3. Из равенства углов ∠AKE = ∠KEA и условия ∠1 = ∠2 следует: 180° − ∠1 = ∠1. Поэтому ∠1 = ∠2 = 90°.
4. Значит, CK перпендикулярна BA, а BE перпендикулярна CA. Угол B образован прямыми BA и BE, а угол C — прямыми CB и CA. Поскольку стороны этих углов соответственно перпендикулярны, углы равны.

Следовательно, ∠B = ∠C.