4. На рисунке 39 углы AKB и DKC равны, луч KE — биссектриса угла AKD. Докажите, что ∠BKE = ∠CKE.

По рисунку лучи расположены внутри угла AKD в порядке KA, KB, KE, KC, KD. Обозначим \(\angle AKB=\angle DKC=x\), а \(\angle BKE=y\).

Так как KE — биссектриса, \(\angle AKE=\angle EKD\). При этом \(\angle AKE=x+y\), а \(\angle EKD=\angle EKC+\angle CKD=\angle EKC+x\).

Следовательно, \(x+y=\angle EKC+x\), откуда \(y=\angle EKC\). Значит, \(\angle BKE=\angle CKE\), поскольку \(\angle EKC=\angle CKE\).