4. На рисунке AB=BC. Докажите, что угол 1 равен углу 2.

Решение:

Рассмотрим рисунок. У нас есть треугольник, в котором AB = BC. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным (по определению, треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В нашем случае, основанием является сторона AC, а углами при основании являются ∠BAC и ∠BCA.

Угол ∠1 и угол ∠BAC являются вертикальными углами (они образованы пересечением двух прямых: AC и прямой, образующей угол 1). Вертикальные углы равны.

Угол ∠2 и угол ∠BCA являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны.

Поскольку △ABC — равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

Так как ∠1 = ∠BAC и ∠2 = ∠BCA, и при этом ∠BAC = ∠BCA, то отсюда следует, что ∠1 = ∠2.

Что и требовалось доказать.