4) На рисунке ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями BC = a и AD = b, AB = CD, диагонали AC и BD перпендикулярны. CH перпендикулярна AD, CH = h. Докажите, что h = (a + b)/2.

Расположим равнобедренную трапецию симметрично относительно вертикальной оси. Тогда можно задать координаты вершин: \(A=(-b/2,0)\), \(D=(b/2,0)\), \(B=(-a/2,h)\), \(C=(a/2,h)\). Высота трапеции равна CH = h.

Векторы диагоналей: \(\overrightarrow{AC}=((a+b)/2,h)\) и \(\overrightarrow{BD}=((a+b)/2,-h)\).

Поскольку диагонали перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

\[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-h^2=0.\]

Длины положительны, поэтому из равенства квадратов следует \(h=\frac{a+b}{2}\).

Что и требовалось доказать.