4. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта и показаны события A и В. Рёбра проведены пунктиром. Известно, что рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны. Скопируйте рисунок в тетрадь. Расставьте вероятности. Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию B. Найдите вероятность события В.

Краткая запись:

• Дерево случайного опыта с событиями A и B.
• Ребра, исходящие из одной вершины, равновероятны.
• Расставить вероятности на рёбрах.
• Обвести цепочки, благоприятствующие событию B.
• Найти вероятность события B.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Анализ рисунка и расстановка вероятностей.

На рисунке изображено дерево вероятностей. Так как рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны, мы должны разделить 1 на количество исходящих рёбер из каждой вершины.

• Из верхней вершины (начало опыта) исходят 3 ребра. Вероятность каждого ребра = \( \frac{1}{3} \).
• Из вершины, куда ведет одно из ребер с вероятностью \( \frac{1}{3} \), исходят 2 ребра. Вероятность каждого из этих рёбер = \( \frac{1}{2} \).
• Из вершины A исходят 2 ребра. Вероятность каждого ребра = \( \frac{1}{2} \).
• Из вершины, куда ведет одно из ребер с вероятностью \( \frac{1}{3} \) и \( \frac{1}{2} \), исходят 2 ребра. Вероятность каждого из этих рёбер = \( \frac{1}{2} \).
• Из вершины B исходят 3 ребра. Вероятность каждого ребра = \( \frac{1}{3} \).

Шаг 2: Обводим сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию B.

Событие B представлено тремя цепочками, начинающимися от вершины, из которой исходят 3 ребра с вероятностью \( \frac{1}{3} \) каждое, и заканчивающимися в вершине B.

Цепочки, благоприятствующие событию B:

• Вершина (начало) → Ребро (\( \frac{1}{3} \)) → Вершина → Ребро (\( \frac{1}{2} \)) → Вершина → Ребро (\( \frac{1}{3} \)) → Событие B
• Вершина (начало) → Ребро (\( \frac{1}{3} \)) → Вершина → Ребро (\( \frac{1}{2} \)) → Вершина → Ребро (\( \frac{1}{3} \)) → Событие B
• Вершина (начало) → Ребро (\( \frac{1}{3} \)) → Вершина → Ребро (\( \frac{1}{2} \)) → Вершина → Ребро (\( \frac{1}{3} \)) → Событие B

Шаг 3: Находим вероятность события B.

Вероятность события B равна сумме вероятностей всех цепочек, благоприятствующих событию B.

• Вероятность первой цепочки: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18} \).
• Вероятность второй цепочки: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18} \).
• Вероятность третьей цепочки: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18} \).

Суммарная вероятность события B = \( \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \).

Ответ:

Вероятность события B равна \( \frac{1}{6} \).