4. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(х) в точке хо.

Решение:

• Производная функции в точке равна коэффициенту наклона (угловому коэффициенту) касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
• Коэффициент наклона (k) можно найти по формуле:

\[ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

• На графике видим, что касательная проходит через две точки:
• Точка 1: (x₀, y₀) — это точка касания.
• Точка 2: (x₁, y₁) — точка, через которую проходит касательная и которую легко определить по координатной сетке. Из графика видно, что эта точка имеет координаты (0, 1).
• Точка 3: (x₂, y₂) — точка, через которую проходит касательная и которую легко определить по координатной сетке. Из графика видно, что эта точка имеет координаты (2, -3).
• Используем точки (0, 1) и (2, -3) для нахождения углового коэффициента:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2 \]

• Значение производной функции f(x) в точке x₀ равно коэффициенту наклона касательной.