4. На рисунке отрезок MP параллелен стороне CE, луч MK является биссектрисой угла BMP. Найдите величину угла BKM.

Решение:

Дано: \( MP \parallel CE \), MK — биссектриса \( \angle BMP \).

Найти: \( \angle BKM \).

Из рисунка видно, что \( \angle BMP = 70° \) и \( \angle MPE = 50° \).

1. Так как MK — биссектриса \( \angle BMP \), то \( \angle BMK = \angle KMP = \frac{1}{2} \angle BMP = \frac{1}{2} \cdot 70° = 35° \).
2. Так как \( MP \parallel CE \), то \( \angle KMP = \angle MPE \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых MP и CE и секущей PE. Но по условию \( \angle MPE = 50° \). Это противоречие. Проверим условие на рисунке. Если \( \angle MPE = 50° \) верно, то \( \angle MPЕ = 50° \) тогда \( \angle KMP \) должно быть равно 50°. Но \( \angle KMP \) равно 35°, как половина \( \angle BMP = 70° \).
3. Рассмотрим другой вариант: если \( \angle CMK = 70° \), то \( \angle BMP \) не известно.
4. Будем исходить из того, что \( \angle KMP = 35° \) (половина \( \angle BMP \)) и \( MP \parallel CE \).
5. Тогда \( \angle MKC = \angle KMP \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых MP и CE и секущей MK.
6. Следовательно, \( \angle MKC = 35° \).
7. \( \angle BKM \) и \( \angle MKC \) — смежные углы. Их сумма равна 180°.
8. \( \angle BKM = 180° - \angle MKC = 180° - 35° = 145° \).

Примечание: На рисунке указано \( \angle CMP = 70° \), а не \( \angle BMP \). Если \( \angle CMP = 70° \), то \( \angle BMP \) не известно. Предположим, что \( \angle BMP = 70° \) как указано на рисунке возле угла M. И \( \angle MPE = 50° \). Тогда \( \angle KMP = 35° \). Так как \( MP \parallel CE \), то \( \angle MPE \) и \( \angle PM C \) являются односторонними углами, их сумма равна 180°. \( \angle PMC = 180° - 50° = 130° \). \( \angle KMP = 35° \). \( \angle BKM \) и \( \angle KMP \) смежные. \( \angle BKM = 180° - 35° = 145° \).

Ответ: 145°.