6. К окружности с центром О проведены касательные BA и BC (A и C — точки касания). Найдите \(\angle\) BCA, если \(\angle\) OAC = 32°.

Решение:

Дано: Окружность с центром О, касательные BA и BC. A и C — точки касания. \( \angle OAC = 32° \). Найти: \( \angle BCA \).

1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OAB = 90° \) и \( \angle OCB = 90° \).
2. В треугольнике OAC, OA = OC (радиусы), поэтому \( \triangle OAC \) — равнобедренный. \( \angle OCA = \angle OAC = 32° \).
3. \( \angle BAC = \angle OAB - \angle OAC = 90° - 32° = 58° \).
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle OAB \) и \( \triangle OCB \).
• OA = OC (радиусы).
• OB — общая сторона.
• \( \angle OAB = \angle OCB = 90° \).
5. Следовательно, \( \triangle OAB = \triangle OCB \) по гипотенузе и катету.
6. Значит, \( \angle OBA = \angle OBC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).
7. Так как \( \angle BAC = 58° \), то \( \angle BCA = 58° \).

Ответ: 58°.