4) На рисунке точки B и C — точки касания прямых AB и AC и окружности, центром которой является точка O. Вычислите длину отрезка BC, если AB = 9, ∠BAC = 30°.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Поэтому AO — биссектриса угла BAC:

\(\angle BAO=\angle OAC=15^\circ\).

В прямоугольном треугольнике AOB:

\[OB=AB\cdot\tan15^\circ=9\tan15^\circ.\]

Угол между двумя касательными и центральный угол связаны равенством:

\[\angle BOC=180^\circ-\angle BAC=150^\circ.\]

Длина хорды BC:

\[BC=2OB\sin\frac{\angle BOC}{2}=18\tan15^\circ\sin75^\circ.\]

Так как \(\tan15^\circ\sin75^\circ=\sin15^\circ\), получаем:

\[BC=18\sin15^\circ=18\cdot\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=\frac{9}{2}(\sqrt6-\sqrt2).\]

Ответ: \(BC=\frac{9}{2}(\sqrt6-\sqrt2)\) см.