№4.* На шахматной доске в правом верхнем углу стоит фишка. За ход можно подвинуть фишку на любое количество клеток вниз или влево (только в одном направлении). Играют Поликсена и Владислава, начинает Поликсена. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в этой игре и почему?

Фишка находится в правом верхнем углу. Поликсена может первым ходом передвинуть её в левый нижний угол: вниз на 7 клеток и влево на 7 клеток, но только одним направлением за ход. Поэтому сначала она передвигает фишку вниз на 7 клеток, а затем, если ход соперницы не изменит положение по горизонтали, использует движение влево; однако после первого хода Владислава может выбрать ход влево, и положение станет зависеть от расстояний.

Рассмотрим координаты: расстояния до нижнего и левого краёв в начальной позиции равны \((7,7)\). При каждом ходе уменьшается одно из чисел на любое положительное количество. Позиции с равными расстояниями являются проигрышными для игрока, который должен ходить: любой ход нарушает равенство, а соперник может уменьшить другое расстояние до равенства. Поликсена первым ходом уменьшает одно расстояние на 7, получая \((0,7)\) или \((7,0)\), то есть неравную позицию, поэтому это не выигрышная стратегия. Владислава после хода Поликсены всегда уменьшает другое расстояние до равенства, а затем сохраняет равенство.

Ответ: выиграет Владислава.