4. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и E так, что BK=KC, CE:ED=2:3. Выразите векторы \(\overrightarrow{AE}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KE}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

Обозначим A началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

1. K — середина BC. Так как \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), получаем \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\).
2. E делит CD в отношении \(CE:ED=2:3\). Поскольку \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\), имеем \(\overrightarrow{CE}=\frac25\overrightarrow{CD}=-\frac25\vec a\). Поэтому \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\frac35\vec a+\vec b\).
3. \(\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac35-1\right)\vec a+\left(1-\frac12\right)\vec b=-\frac25\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AE}=\frac35\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{KE}=-\frac25\vec a+\frac12\vec b\).