4. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и M соответственно. Отрезки BM и KD пересекаются в точке O; ∠BOD = 140°, ∠DKB = 110°, ∠BMC = 90°. Найдите отношение длин отрезков MC и AD и углы параллелограмма.

Так как \(K\) лежит на стороне \(BC\), лучи \(KB\) и \(KC\) противоположны. Из условия \(\angle DKB=110^\circ\) следует, что прямая KD образует с направлением BC угол \(70^\circ\).

Угол \(BOD=140^\circ\), поэтому угол между прямыми BM и KD равен \(40^\circ\). Следовательно, луч BM образует с BC угол \(30^\circ\).

Обозначим \(AD=BC=a\). В прямоугольном треугольнике BMC угол при B равен \(30^\circ\), а \(\angle BMC=90^\circ\). Поэтому:

\[MC=BC\cdot\sin30^\circ=a\cdot\frac12=\frac a2.\]

Следовательно,

\[\frac{MC}{AD}=\frac{a/2}{a}=\frac12.\]

Поскольку \(\angle BMC=90^\circ\), направление стороны CD образует с BC угол \(120^\circ\). Значит, внутренний угол параллелограмма при C равен \(60^\circ\), а соседний с ним угол равен \(120^\circ\).

Ответ: \(MC:AD=1:2\); углы параллелограмма равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\).